首先明确欧拉格式和龙格库塔算法是用来干啥的，他们都用来解决同一个问题：

求解常微分方程

本文所作的的各种概念均有简化，可能与学术界不同，尽可能简单的理解。

常微分方程一般长这样：

可见y的导数由x和y共同表示。

现在我们的任务是求出y函数，或者说能够通过y0得到许多个y函数上的点y1, y2, y3 ... yn，从而可以用插值等方法构造出y的多项式来，总是就是要能够得到y的信息。

朴素欧拉格式（显式欧拉）

显式欧拉十分简单明了，先确定一个步长h，既然知道了x0，y0以及该点的导数值，那就假设这个y是一个完全线性的函数嘛，就像在直线上做的一样，不难得出以下公式：

只需要把k代入回去，就和书本上写的一样了。

但是这样得到的y[n + 1]显然十分粗糙，我们处理的大部分的函数并非线性。

隐式欧拉格式

我们将图2的公式公式整合一下得到以下的显式欧拉格式：

这里用的是x[n]和y[n]来得到y[n + 1]，我们用的斜率是x[n]点的斜率，但是是不是也可以用x[n + 1]点的斜率呢？来试试吧。

改用x[n + 1]点的斜率写的欧拉格式如下：

这是隐式欧拉格式，因为没有办法直接从右边算出y[n + 1]，因为右边也有y[n + 1]。

怎么办呢？我们总得计算吧。

两步欧拉格式（优化一下！！）

那么就先用显示欧拉格式算出y[n + 1]，再用这一个y[n + 1]去计算新的y[n + 1]。

写成公式是这样：

这个就是预估-校正系统，其实也很好理解，先用显示欧拉预估一个y[n + 1]，再用它去代入到隐式欧拉格式里计算y[n + 1]，自己算自己属于是。

改进欧拉格式

前面的显式欧拉，隐式欧拉终究是线性的，代数精度最大也就1阶。

为了提高精度，我们需要对欧拉格式进行改进，回到常微分方程这里，我们如果对式子两边同时求x[n]到x[n + 1]的积分，可以得到：

这就是利用梯形公式改进的欧拉格式。它具有2阶代数精度。

改进欧拉格式的截断误差和代数精度

首先看一下欧拉格式的截断误差定义：

我们把y[n]的值代入进去，得到下面这个式子（为了方便计算，将n都加一）：

我们将y[n + 1]和hf(x[n + 1], y[n + 1])分别进行泰勒展开得到如下式子，注意h * O(h^2) = O(h^3)：

所以改进欧拉格式具有2阶代数精度。

龙格库塔算法

龙格库塔不满足于两阶精度，他们想从精度的定义入手，得到更高精度的公式。

没错，从精度的定义入手十分关键。

类比高斯求积公式，我们前面用于改进欧拉格式的梯形公式也可以变形，变为对多个点进行加权平均的形式。

我们前面证明改进欧拉的泰勒展开最多展开到了O(h^3)，如果我们展开到O(h^4)并且选出合适的参数使得误差值成立呢？

这就是龙格库塔的想法。

同时还有另外一个思路，我们要从y[n]求到y[n + 1]，其实就是要确定一个比较好的斜率，使得求出的y[n + 1]尽可能准确，那么这个比较好的斜率就需要在x[n]到x[n + 1]中尽可能多的找点来做加权平均，将几个斜率加权平均得到较好的斜率，再从y[n]直接转移到y[n + 1]。

二阶龙格库塔（有很多种，这里写出其中一种，也就是改进欧拉格式）：

三阶龙格库塔：

四阶龙格库塔：

感谢阅读。